Математический Анализ

Какое из утверждений является определением производной функции в точке?

• А) Предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении аргумента к нулю.
• Б) Площадь под графиком функции на заданном интервале.
• В) Корень уравнения, задающего касательную к графику функции.
• Г) Интеграл от функции на бесконечном интервале.

Что такое точка локального экстремума функции?

• А) Точка, в которой функция обращается в ноль.
• Б) Точка, в которой значение функции максимально.
• В) Точка, в которой функция имеет локальный максимум или минимум.
• Г) Точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.

Какой из интегралов является определенным интегралом функции f(x) на интервале [a, b]?

• А) ( int f'(x) , dx )
• Б) ( int frac{1}{x} , dx )
• В) ( int_{a}^{b} f(x) , dx )
• Г) ( int e^x , dx )

Какова производная функции ( f(x) = x^2 + 3x — 2 )?

• А) ( 2x )
• Б) ( x^2 + 3 )
• В) ( 2x + 3 )
• Г) ( x + 3 )

Какой метод используется для нахождения точек перегиба графика функции?

• А) Метод средних прямоугольников.
• Б) Вторая производная и критерий знакопостоянства.
• В) Метод трапеций.
• Г) Метод замены переменной.

Что представляет собой градиент функции векторного аргумента?

• А) Вектор, указывающий на направление наибольшего возрастания функции.
• Б) Сумму значений функции на заданных точках.
• В) Производную функции по каждой переменной.
• Г) Вектор, перпендикулярный касательной к графику функции.

Каково значение интеграла ( int_{0}^{h2i} sin(x) , dx )?

• А) ( -h2i )
• Б) ( h2i )
• В) ( 0 )
• Г) ( 1 )

Что такое теорема Ролля?

• А) Любая непрерывная функция ограничена на замкнутом интервале.
• Б) Если функция имеет конечные пределы на бесконечно удаленных точках, то она равномерно непрерывна.
• В) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка одинаковые значения, то существует точка, в которой производная равна нулю.
• Г) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, то существует точка, в которой производная равна нулю.

Какой из следующих рядов сходится?

• А) ( sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} )
• Б) ( sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} )
• В) ( sum_{n=1}^{infty} n^2 )
• Г) ( sum_{n=1}^{infty} (-1)^n )

Какой из методов численного интегрирования использует интерполяцию функции и интегрирование полиномов?

• А) Метод прямоугольников.
• Б) Метод трапеций.
• В) Метод Симпсона.
• Г) Метод Гаусса.

Какая из следующих формул описывает производную функции (f(x))?

• (f'(x) = lim_{{h to 0}} frac{{f(x + h) — f(x)}}{h})
• (f'(x) = int f(x) ,dx)
• (f'(x) = frac{{f(x)}}{{1 + x^2}})
• (f'(x) = sqrt{f(x)})

Какова производная функции (g(x) = e^{3x})?

• (g'(x) = 3e^{3x})
• (g'(x) = e^{3x})
• (g'(x) = 3e^{2x})
• (g'(x) = 3e^{3x})

Что такое интеграл функции (h(x))?

• (h(x) = frac{1}{ln(x)})
• (h(x) = sqrt{x})
• (h(x) = cos(x))
• (int h(x) ,dx)

Каков предел функции (h2(x) = frac{x^2 — 4}{x — 2}), при (x) стремящемся к 2?

• (h2(2) = 0)
• (h2(x) = x — 2)
• (lim_{{x to 2}} h2(x))
• (lim_{{x to 2}} frac{1}{h2(x)})

Какая из следующих формул представляет собой правило производной сложной функции?

• ((f cdot g)’ = f’ cdot g’)
• ((f + g)’ = f’ + g’)
• ((fg)’ = f’g + fg’)
• ((g circ f)’ = g'(f) cdot f’)

Какова производная функции (y = ln(x^2 + 1))?

• (y’ = frac{2x}{x^2 + 1})
• (y’ = frac{1}{x^2 + 1})
• (y’ = ln(x))
• (y’ = frac{2x}{x^2 + 1})

Какова формула для вычисления определенного интеграла (int_{{a}}^{{b}} f(x) ,dx)?

• (int f(x) ,dx ,|_{{a}}^{{b}})
• (frac{f(b) — f(a)}{b — a})
• (lim_{{n to infty}} sum_{{i=1}}^{{n}} f(x_i) Delta x)
• (int_{{a}}^{{b}} f(x) ,dx)

Какой из следующих интегралов является неопределенным интегралом?

• (int_{{0}}^{{1}} x^2 ,dx)
• (int cos(x) ,dx)
• (int e^x ,dx)
• (int frac{1}{1 + x^2} ,dx)

Каков предел функции (f(x) = frac{sin(x)}{x}), при (x) стремящемся к 0?

• (f(0) = 0)
• (lim_{{x to 0}} frac{sin(x)}{x^2})
• (f(x) = cos(x))
• (lim_{{x to 0}} frac{sin(x)}{x})

Какая из формул определяет длину дуги (s) графика функции (y = f(x)) на интервале ([a, b])?

• (s = int_{{a}}^{{b}} f'(x) ,dx)
• (s = sqrt{1 + [f'(x)]^2} ,dx)
• (s = lim_{{n to infty}} sum_{{i=1}}^{{n}} sqrt{1 + [f'(x_i)]^2} Delta x)
• (s = int_{{a}}^{{b}} sqrt{1 + [f'(x)]^2} ,dx)

Какое утверждение является верным для производной функции ( f(x) )?

• Если производная равна нулю в точке, то это точка минимума функции.
• Если производная положительна в точке, то это означает, что функция убывает.
• Производная функции равна самой функции в каждой точке.
• Производная функции измеряет скорость изменения функции в данной точке.

Какая формула определяет интеграл функции ( f(x) )?

• (int f(x) , dx = f(x) + C)
• (int f(x) , dx = ln|f(x)| + C)
• (int f(x) , dx = frac{1}{f(x)} + C)
• (int f(x) , dx = F(x) + C), где ( F'(x) = f(x)).

Что такое точка разрыва функции?

• Точка, в которой функция равна нулю.
• Точка, в которой функция достигает максимума.
• Точка, в которой функция не определена или имеет различные значения с разных сторон.
• Точка, в которой функция монотонно возрастает.

Как определить, является ли функция ( f(x) ) четной?

• Если график функции симметричен относительно оси Y.
• Если график функции проходит через начало координат.
• Если график функции монотонно убывает.
• Если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения функции.

Какое утверждение верно для сходимости ряда?

• Ряд сходится, если сумма его первых членов стремится к бесконечности.
• Ряд сходится, если все его члены положительны.
• Ряд сходится, если предел частичных сумм ограничен и конечен.
• Ряд сходится, если его общий член стремится к нулю.

Как найти критические точки функции?

• Критические точки — это точки, в которых функция имеет максимум.
• Критические точки — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
• Критические точки — это точки, в которых функция достигает минимума.
• Критические точки — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Что представляет собой определенный интеграл функции на интервале [a, b]?

• Площадь криволинейной фигуры, образованной графиком функции и осями координат.
• Сумма значений функции на интервале [a, b].
• Отношение производной функции к её значению.
• Лимит суммы площадей прямоугольников, приближенно равных площади под кривой.

Что такое непрерывная функция?

• Функция, которая принимает только целочисленные значения.
• Функция, у которой предел существует в каждой точке области определения, и равен значению функции в этой точке.
• Функция, у которой график состоит только из прямых линий.
• Функция, которая не имеет точек разрыва.

Как определить, является ли функция ( f(x) ) монотонно убывающей на интервале [a, b]?

• Если ( f'(x) ) положительна на интервале [a, b].
• Если ( f'(x) ) отрицательна на интервале [a, b].
• Если ( f(x) ) убывает на концах интервала [a, b].
• Если ( f(x) ) принимает отрицательные значения на интервале [a, b].

Какая формула определяет длину дуги графика функции ( f(x) ) на интервале [a, b]?

• Длина дуги равна разности значений функции в точках a и b.
• Длина дуги равна интегралу функции ( f(x) ) на интервал
  

  Какая из следующих формул описывает производную функции (f(x))?

  • (frac{f(x + h) — f(x)}{h})
  • (frac{f(x)}{h})
  • (frac{h}{f(x)})
  • (f'(x))

  Какой метод используется для нахождения абсолютного экстремума функции?

  • Метод прямоугольников
  • Метод Эйлера
  • Метод Гаусса
  • Метод Лагранжа

  Как называется точка, в которой производная функции равна нулю?

  • Седловая точка
  • Критическая точка
  • Экстремум
  • Стационарная точка

  Какое утверждение верно для неопределенного интеграла функции?

  • Интеграл зависит от выбора начальной точки
  • Интеграл всегда равен нулю
  • Интеграл равен производной функции
  • Интеграл не зависит от начальной точки

  Какая формула используется для нахождения определенного интеграла функции?

  • Формула Гаусса
  • Формула Лагранжа
  • Формула Ньютона
  • Формула Ньютона-Лейбница

  Что такое теорема Ролля?

  • Все корни уравнения многочлена положительны
  • У любой непрерывной функции есть производная
  • На интервале между двумя точками функция либо не меняет знак, либо обращается в ноль
  • Если функция непрерывна на отрезке и принимает одинаковые значения на концах, то существует точка, в которой производная равна нулю

  Как определить, является ли число (a) критической точкой функции?

  • Если (a) равно нулю
  • Если (a) является корнем уравнения функции
  • Если вторая производная функции в точке (a) равна нулю
  • Если первая производная функции в точке (a) равна нулю

  Как называется геометрическое представление производной функции в точке?

  • Касательная
  • Секущая
  • Абсцисса
  • Прямая наклона

  Какая из формул используется для вычисления площади под кривой, ограниченной графиком функции и осью (x)?

  • Формула Герона
  • Формула Пифагора
  • Формула Симпсона
  • Формула интеграла площади

  Что такое точная формула Ньютона-Лейбница?

  • (F(x) = int f(x) , dx + C)
  • (F(x) = f(x) + C)
  • (F(x) = frac{f(x)}{2} + C)
  • (F(x) = int f(x) , dx)