Линейная Алгебра И Функции Нескольких Переменных

Какое из утверждений является верным относительно линейных уравнений?

• Система линейных уравнений всегда имеет только одно решение.
• Линейное уравнение всегда имеет ровно два корня.
• Линейная зависимость между уравнениями может привести к бесконечному множеству решений.
• Линейные уравнения всегда несовместны и не имеют решений.

Что представляет собой определитель матрицы 2×2?

• Сумма всех элементов матрицы.
• Произведение диагональных элементов матрицы с вычитанием произведения второстепенных элементов.
• Среднее арифметическое всех элементов матрицы.
• Квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы.

Что такое собственное значение (собственное число) матрицы?

• Сумма всех элементов матрицы.
• Произведение всех элементов матрицы.
• Корень из определителя матрицы.
• Число, которое является решением уравнения det(A — λI) = 0, где A — матрица, λ — собственное значение, I — единичная матрица.

Какова размерность вектора в трехмерном пространстве?

• 1
• 2
• 3
• 4

Каково определение производной функции нескольких переменных?

• Отношение изменения y к изменению x.
• Интеграл от функции.
• Сумма всех элементов функции.
• Предел отношения изменения функции к изменению одной из переменных при стремлении этой переменной к нулю.

Каков градиент функции вектора?

• Вектор, перпендикулярный касательной к графику функции в заданной точке.
• Среднее арифметическое всех частных производных функции.
• Вектор, состоящий из частных производных функции по каждой переменной.
• Отношение изменения функции к изменению одной из переменных.

Какова формула поверхности второго порядка в трехмерном пространстве?

• ax + by = c
• ax^2 + by^2 = c^2
• z = ax^2 + by^2
• ax^2 + by^2 + cz^2 = d

Что такое линейное пространство?

• Множество точек в пространстве.
• Множество всех линейных уравнений.
• Совокупность всех матриц.
• Совокупность векторов, на которых определены операции сложения и умножения на число.

Что представляет собой гессиан функции?

• Сумма всех элементов функции.
• Матрица, состоящая из вторых производных функции по каждой переменной.
• Отношение изменения функции к изменению одной из переменных.
• Матрица, состоящая из частных производных второго порядка функции.

Какие из следующих функций являются однородными?

• sin(x)
• log(x)
• x^2
• e^x

Каково определение скалярного произведения двух векторов в трехмерном пространстве?

• Сумма произведений соответствующих компонент векторов.
• Разность произведений соответствующих компонент векторов.
• Произведение модулей векторов.
• Сумма произведений соответствующих компонент векторов с учетом их знаков.

Какова формула нахождения обратной матрицы 2×2?

• $$begin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}^{ -1} = frac{1}{ad — bc} begin{bmatrix} d & -b \ -c & a end{bmatrix}$$
• $$begin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}^{ -1} = frac{1}{a + d} begin{bmatrix} d & -b \ -c & a end{bmatrix}$$
• $$begin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}^{ -1} = frac{1}{2(ad — bc)} begin{bmatrix} d & -b \ -c & a end{bmatrix}$$
• $$begin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}^{ -1} = frac{1}{ad — bc} begin{bmatrix} d & -b \ -c & a end{bmatrix}$$

Каково определение градиента функции нескольких переменных?

• Отношение производных по переменным.
• Сумма переменных функции.
• Скалярное произведение переменных функции.
• Вектор частных производных функции по каждой переменной.

Какова формула вычисления детерминанта 3×3 матрицы?

• $$text{det}(A) = a + b + c$$
• $$text{det}(A) = abc$$
• $$text{det}(A) = a^2 + b^2 + c^2$$
• $$text{det}(A) = a(ei — fh) — b(di — fg) + c(dh — eg)$$

Каково условие ортогональности двух векторов в трехмерном пространстве?

• Скалярное произведение векторов равно 1.
• Скалярное произведение векторов равно 0.
• Сумма квадратов векторов равна 1.
• Скалярное произведение векторов равно 0.

Какова формула вычисления частной производной функции по одной из переменных?

• $$frac{d}{dx}(f(x, y)) = frac{h2artial f}{h2artial x}$$
• $$frac{d}{dy}(f(x, y)) = frac{h2artial f}{h2artial y}$$
• $$frac{d}{dx}(f(x, y)) = frac{h2artial f}{h2artial y}$$
• $$frac{h2artial}{h2artial x}(f(x, y)) = frac{h2artial f}{h2artial x}$$

Каково свойство симметрии матрицы?

• Сумма диагональных элементов равна 1.
• Все элементы равны друг другу.
• Определитель матрицы равен нулю.
• Элементы симметричной матрицы относительно главной диагонали совпадают.

Каково значение градиента скалярной функции в точке?

• Вектор нормали к функции в данной точке.
• Сумма всех переменных функции в данной точке.
• Скалярное произведение переменных функции в данной точке.
• Вектор частных производных функции в данной точке.

Какова формула вычисления смешанного произведения трех векторов в трехмерном пространстве?

• $$mathbf{u} cdot (mathbf{v} times mathbf{w}) = |mathbf{u}| cdot |mathbf{v} times mathbf{w}|$$
• $$mathbf{u} cdot (mathbf{v} times mathbf{w}) = frac{mathbf{u}}{mathbf{v} times mathbf{w}}$$
• $$mathbf{u} cdot (mathbf{v} times mathbf{w}) = |mathbf{u}| cdot |mathbf{v}| cdot |mathbf{w}|$$
• $$mathbf{u} cdot (mathbf{v} times mathbf{w}) = mathbf{u} cdot (mathbf{v} times mathbf{w})$$

Какое из следующих уравнений задает плоскость в трехмерном пространстве?

• (2x + 3y = 5)
• (x — y + z = 1)
• (xy + 2z = 3)
• (3x — 4y + 2z = 7)

Какой из перечисленных векторов является скалярным произведением векторов?

• ((1, 2, 3) times (4, 5, 6))
• ((1, 2, 3) cdot (4, 5, 6))
• ((1, 2, 3) otimes (4, 5, 6))
• ((1, 2, 3) cdot (4, 5, 6))

Как называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов?

• Прямоугольная матрица
• Квадратная матрица
• Треугольная матрица
• Диагональная матрица

Какие из следующих операций не изменяют определитель матрицы?

• Умножение всех элементов матрицы на константу
• Перестановка двух строк матрицы
• Сложение кратной строки к другой строке
• Умножение строки матрицы на константу

Какая из функций является нелинейной?

• (f(x) = 3x + 2)
• (f(x) = x^2 + 1)
• (f(x) = e^x)
• (f(x) = sin(x))

Какова производная по x функции (f(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2)?

• (4x + 3y)
• (2x + 3y)
• (4x + 3y^2)
• (2x + 2y)

Как выглядит уравнение плоскости в трехмерном пространстве в параметрической форме?

• (x = at), (y = bt), (z = ct)
• (x = a + bt), (y = c + dt), (z = e + ft)
• (x = a + tu), (y = b + tv), (z = c + tw)
• (x = a — t), (y = b — t), (z = c — t)

Какое утверждение верно для обратной матрицы?

• Определитель равен 1
• Все элементы матрицы равны 1
• Произведение матрицы на ее обратную равно единичной матрице
• Она симметрична

Каков градиент функции (f(x, y) = 3x^2 + 2y^2)?

• ((6x, 4y))
• ((3x, 2y))
• ((6x, 4y))
• ((2x, 3y))

Какое из утверждений верно для линейной зависимости векторов?

• Всегда линейно зависимы
• Линейно независимы в трехмерном пространстве
• Линейно зависимы, если существуют такие коэффициенты, не все из которых равны нулю, что их линейная комбинация равна нулю
• Линейно независимы в любом случае

Какое из утверждений верно для матрицы A и её транспонированной матрицы AT?

• Строки матрицы A становятся столбцами AT.
• Столбцы матрицы A становятся строками AT.
• Матрицы A и AT всегда равны между собой.
• Транспонирование не влияет на матрицу A.

Что такое определитель матрицы?

• Сумма элементов главной диагонали матрицы.
• Произведение элементов главной диагонали матрицы.
• Сумма элементов всех строк матрицы.
• Число, характеризующее обратимость и ориентированный объем пространства, заданного матрицей.

Какое условие должно быть выполнено, чтобы система линейных уравнений была совместной и имела единственное решение?

• Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных.
• Система должна иметь бесконечное множество решений.
• Коэффициенты при неизвестных должны быть равными.
• Матрица коэффициентов должна быть невырожденной.

Как выглядит уравнение плоскости в пространстве?

• ax + by = c
• z = ax + by
• ax + by + cz = d
• ax2 + by2 + cz2 = d

Что такое градиент функции нескольких переменных?

• Скалярное произведение двух векторов.
• Производная по одной переменной.
• Сумма всех переменных функции.
• Вектор, указывающий на направление наибольшего возрастания функции.

Какой метод используется для решения систем линейных уравнений, основанный на последовательном исключении переменных?

• Метод Гаусса.
• Метод наименьших квадратов.
• Метод Эйлера.
• Метод Крамера.

Как выглядит формула двойного интеграла по области в плоскости?

• ∫f(x)dx
• ∬f(x, y)dA
• ∬f(x, y)dxdy
• ∫∫f(x, y)dydx

Что такое собственное значение матрицы?

• Сумма элементов главной диагонали матрицы.
• Произведение элементов главной диагонали матрицы.
• Максимальное значение в матрице.
• Значение λ, для которого существует ненулевой вектор x такой, что Ax = λx.

Какое утверждение верно для нормального распределения?

• Симметричное относительно вертикальной оси.
• Медиана совпадает с модой.
• Не имеет хвостов.
• 68% значений находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего.

Какой геометрический объект задается уравнением x2 + y2 = r2?

• Прямая.
• Эллипс.
• Окружность.
• Гипербола.
Вы ищите готовые ответы на тесты Синергии?
Да
89.61%
Нет
6.8%
Другое
3.59%