Аналитическая Геометрия

Каково уравнение прямой в пространстве в параметрической форме?

• (x = a + bt)
• (y = b + ct)
• (z = c + at)
• (x = x_0 + at, quad y = y_0 + bt, quad z = z_0 + ct)

Как называется точка, в которой пересекаются все трех высоты треугольника?

• Центр тяжести
• Ортоцентр
• Центр окружности
• Вершина

Какие из следующих утверждений верны относительно векторного произведения двух векторов ( vec{A} ) и ( vec{B} )?

• ( vec{A} times vec{B} = -vec{B} times vec{A} )
• ( vec{A} times vec{B} = vec{B} times vec{A} )
• ( vec{A} times vec{B} ) всегда перпендикулярен плоскости, образованной ( vec{A} ) и ( vec{B} )
• Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов и синуса угла между ними

Каково условие того, что две прямые в пространстве пересекаются?

• Они параллельны
• Они лежат в одной плоскости
• Не параллельны и не лежат в одной плоскости
• Одна прямая является проекцией другой

Какие параметры определяют плоскость в пространстве?

• Нормальный вектор и точка на плоскости
• Угловой коэффициент и точка на плоскости
• Два вектора на плоскости
• Три точки, не лежащие на одной прямой

Как называется отношение расстояния между двумя точками и длины отрезка, соединяющего их, когда точки заданы в декартовой системе координат?

• Отношение координат
• Отношение разностей координат
• Отношение разности координат к длине вектора
• Отношение длин отрезков к их проекциям

Как называется прямая, которая касается графика функции и проходит через точку графика?

• Касательная
• Асимптота
• Касательная к графику
• Кривая второго порядка

Какова формула расстояния между точкой и прямой в декартовой системе координат?

• (d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}})
• (d = frac{Ax_0 + By_0 + C}{sqrt{A^2 + B^2}})
• (d = frac{|Ax_0 — By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}})
• (d = frac{|Ax_0 + By_0 — C|}{sqrt{A^2 + B^2}})

Каковы координаты вектора направления прямой, заданной уравнением (ax + by + c = 0)?

• (a) и (b)
• (a) и (c)
• (b) и (-a)
• (c) и (-b)

Как вычислить угол между двумя векторами в трехмерном пространстве?

• ( theta = arccos{left(frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}right)} )
• ( theta = arcsin{left(frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}right)} )
• ( theta = arctan{left(frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}right)} )
• ( theta = arccos{left(frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{
  

  Какие из следующих уравнений задают прямую в пространстве?

  • а) (2x — 3y + 4z = 5)
  • б) (x^2 + y^2 = 9)
  • в) (3x + 2y = 7)
  • г) (z = 2x — y)

  Какие из перечисленных точек лежат на плоскости (2x — y + z = 6)?

  • а) ((1, 2, 3))
  • б) ((0, 0, 6))
  • в) ((3, 0, 0))
  • г) ((-2, 1, 4))

  Каковы координаты середины отрезка, соединяющего точки ((2, 4, 6)) и ((-1, 0, 2))?

  • а) ((1, 2, 3))
  • б) ((0.5, 2, 4))
  • в) ((-0.5, 2, 4))
  • г) ((-3, -4, -6))

  Какие из уравнений задают сферу в трехмерном пространстве?

  • а) (x^2 + y^2 + z^2 = 9)
  • б) (2x — 3y + z = 7)
  • в) (xy + z = 4)
  • г) (x^2 — y^2 = 1)

  Каковы параметры наклонной плоскости, проходящей через точку ((1, 2, 3)) и параллельной вектору ((2, -1, 4))?

  • а) (x — 2y + z = 1)
  • б) (2x + y — 4z = 5)
  • в) (2x — y + 4z = 5)
  • г) (x + 3y — z = 6)

  Какие из уравнений задают плоскость, параллельную координатным осям?

  • а) (x — 2y + z = 3)
  • б) (2x + 3y = 6)
  • в) (4x — 2y + 5z = 8)
  • г) (x^2 + y^2 + z^2 = 16)

  Какова длина вектора ((3, -1, 4))?

  • а) (2)
  • б) (5)
  • в) (6)
  • г) (8)

  Какие из перечисленных точек лежат на прямой, заданной параметрическими уравнениями (x = t + 1), (y = 2t — 3), (z = 4 — t)?

  • а) ((0, 1, 3))
  • б) ((2, 1, 3))
  • в) ((1, -3, 0))
  • г) ((-1, 5, 2))

  Какие из уравнений задают параллельные плоскости?

  • а) (3x — 2y + z = 5)
  • б) (2x + y = 3)
  • в) (4x — 2y + z = 8)
  • г) (x^2 + y^2 + z^2 = 16)

  Какое уравнение задает окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 5?

  • (x^2 + y^2 = 25)
  • (x^2 + y^2 = 10)
  • (x^2 — 4x + y^2 — 6y = 0)
  • ((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25)

  Какие из следующих точек принадлежат прямой (3x — 4y + 7 = 0)?

  • ((1, 2))
  • ((4, 3))
  • ((0, -2))
  • ((3, 2))

  Какова длина отрезка между точками (1, 4) и (5, 8)?

  • 2
  • 5
  • (sqrt{32})
  • (sqrt{17})

  Какое уравнение задает прямую, проходящую через точку (3, 2) и параллельную оси Y?

  • (x + y = 5)
  • (3x — 2y = 6)
  • (x = 3)
  • (2x + 5y = 10)

  Какова координата X вершины параболы, заданной уравнением (y = 2x^2 — 4x + 1)?

  • 2
  • 1
  • -1
  • 4

  Какое уравнение задает прямоугольник с вершинами в точках (1, 2), (1, 6), (5, 2), (5, 6)?

  • (x + y = 8)
  • (1 leq x leq 5, 2 leq y leq 6)
  • (x^2 + y^2 = 41)
  • (2x — 3y + 6 = 0)

  Какие из следующих утверждений верны для векторов (mathbf{v} = (3, -2)) и (mathbf{u} = (-1, 4))?

  • Длина вектора (mathbf{v}) больше длины вектора (mathbf{u})
  • Векторы (mathbf{v}) и (mathbf{u}) коллинеарны
  • Вектор (mathbf{v} + mathbf{u}) имеет компоненту Y равную 2
  • Скалярное произведение (mathbf{v} cdot mathbf{u} = -11)

  Какое уравнение задает плоскость, проходящую через точку (1, 2, 3) и перпендикулярную вектору (mathbf{n} = (2, -1, 4))?

  • (2x — y + 4z = 7)
  • (2x — y + 4z = 10)
  • (-x + 2y — 3z = 5)
  • (4x + 2y — z = 6)

  Какое уравнение задает касательную плоскость к поверхности (z = x^2 + y^2) в точке (1, 1, 2)?

  • (x + y — z = 0)
  • (-x + 2y + z = 3)
  • (x + y — z = 2)
  • (3x — 2y + z = 4)

  Какое уравнение соответствует прямой в трехмерном пространстве?

  • (x — y + z = 3)
  • (2x + 4y — 6z = 1)
  • (3x + y^2 — 2z = 0)
  • 3x — 2y + z = 5

  Каковы координаты середины отрезка, концы которого имеют координаты A(1, 2, 3) и B(4, 6, 8)?

  • (2.5, 4, 5.5)
  • (3, 4, 5)
  • (2.5, 4, 5.5)
  • (3.5, 5, 6.5)

  Каков угол между векторами ( mathbf{u} = langle 2, -1, 3 rangle ) и ( mathbf{v} = langle 1, 4, -2 rangle )?

  • 45 градусов
  • 90 градусов
  • 120 градусов
  • 60 градусов

  Какова формула расстояния между точками A((x_1, y_1, z_1)) и B((x_2, y_2, z_2)) в трехмерном пространстве?

  • (sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2 + (z_1 — z_2)^2})
  • (sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 + (z_1 + z_2)^2})
  • (sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2})
  • (sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2 + (z_1 — z_2)^2})

  Каковы координаты точки, делящей отрезок между A(1, 2, 3) и B(4, 6, 8) в отношении 2:1?

  • (3, 5, 7)
  • (2, 3, 4)
  • (2.5, 4, 5.5)
  • (3.5, 5, 6.5)

  Каков уравнение плоскости, проходящей через точку h2(1, 2, 3) и перпендикулярной вектору ( mathbf{n} = langle 2, -1, 3 rangle )?

  • (2x — y + 3z = 0)
  • (x + 2y — z = 6)
  • (-2x + y — 3z = 5)
  • 2x — y + 3z = 5

  Какие значения параметра (t) делают вектор (langle 2t, -t, 3t rangle) коллинеарным с вектором (langle 1, -2, 3 rangle)?

  • (t = 1)
  • (t = -2)
  • (t = 3)
  • (t = -1)

  Какова формула уравнения окружности в трехмерном пространстве с центром в точке C(1, 2, 3) и радиусом (r = 4)?

  • (x^2 + y^2 = 16)
  • (x^2 + y^2 + z^2 = 16)
  • ((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16)
  • (x^2 + y^2 + z^2 = 4)

  Каков угол между плоскостью (2x — 3y + z = 7) и осью (z)?

  • 30 градусов
  • 45 градусов
  • 60 градусов
  • 90 градусов

  Какие точки лежат на прямой, заданной параметрически как (x = 1 + 2t), (y = 3 — t), (z = 4t)?

  • (1, 3, 4)
  • (3, 2, 5)
  • (2, 4, 6)
  • (5, 1, 8)